Быстрый алгоритм возведения в степень

Запись от -=ЮрА=- размещена 26.07.2013 в 10:07

Проблема довольно известная и возможно кому то покажется глупым её рассмотрение, НО прежде чем закрыть данную ветку раздела блогов внимательно читаем название и понимаем что будет не так как в учебниках. Заинтрегованы?Тогда читаем дальше!

Итак задача : нам следует возвести в степень два вещественных числа, а именно необходимо определить значение с
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c = {a}^{b}$ и сделать это максимально быстро.
(кто побежал за учебником алгебры в раздел функций комплексного переменного и прочей экзотикой - быстро её закрыли, тут такого не будет, т.к комплексов в явном виде в расчётах не будет)

Давайте посмотрим на равенство внимательно:
Если прологорифмировать обе части равенства получим:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ln(c) = b*ln(a)$
а теперь снова проведём обратное преобразование:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c = {e}^{b*ln(a)}$
Кому-то покажется странным замена 1-й матоперации возведения в степень сразу двумя - логорифмированием и потенцированием. Что ж отмечу, что нахождение логорифма и экспоненты через разложение в ряд Тейлора потребует чуть ли не банальных 10-12 операций сложения и является весьма тривиальной задачей, самое главное - что при данном построении решения выигрыш в скорости будет невероятно большим (всем кто сомневается предлагаю проверить)

Вроде хорошо, но вот уже слышу свист и фразу : "а если показатель степени отрицательное?!Логорифма отрицательного числа не бывает!"
Что ж отвечаю $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|c| = {e}^{b*ln(|a|)}$
Ага снова недовольство, где наш комплекс зачем нам его модуль?

И вот тут магия - оказалось что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c = Re({e}^{b*ln(|a|)}) + j*Im({e}^{b*ln(|a|)})$
обладает удивительным свойством, а именно
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(Re({e}^{b*ln(|a|)}), Im({e}^{b*ln(|a|)})) = \frac{\pi }{10}$
Что из этого следует - а следует то что при отрицательном показатели степени нам всего лишь достаточно полученный нами результат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|c| = {e}^{b*ln(|a|)}$ записать вот так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat{c} = |c|*cos(\frac{\pi }{10}) + j*|c|*sin(\frac{\pi }{10})$

Сама проблема рассмотрена в данной теме
Возведение в степень, отрицательные числа

Коды разложений не привожу а даю ссылку на свой FAQ по математике где всё есть (ссылка)

Размещено в Без категории

« Безопасный ввод через функцию-шаблон Главная страница

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

Всего комментариев 5

Комментарии

Пи/10 используем лишь когда основание степени a < 0
т.е изначально находим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|c| = {e}^{b*ln(|a|)}$
Потом смотрим на основание - если оно < 0
то потребуется конечное преобразование с представлением комплекса в алгебраической форме через его модуль и как оказывается магическую фазу Пи/10.
На счёт с - честно скажу не понял, если выражаться простым языком, с - просто значение f(x) = exp(x)

Запись от -=ЮрА=- размещена 30.07.2013 в 23:47 -=ЮрА=- вне форума

Сегодня за долгое время просмотрел свой блог, наткнулся на некогда живую дискуссию без меня

Фаза Пи/10 получается лишь при показателях степени b = 2,1, 4,1, 6,1 и т. д. Возьми в качестве b число, равное 4,2 и "магическая" фаза сразу станет равной Пи/5.

- да прав, но смотреть надо глубже, а не пытаться закидать меня камнями...
Уточнение в алгоритме (справедливо для всех b >= 0)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(Re({e}^{b*ln(|a|)}), Im({e}^{b*ln(|a|)})) = \pi*(b - floor(b))$

MathCAD файл оновлен по ссылке https://www.cyberforum.ru/cpp-... ost5923921

Не по теме:

тот, кто знает мир науки, поймёт к чему здесь этот смайл :p .

Запись от -=ЮрА=- размещена 19.03.2014 в 22:22 -=ЮрА=- вне форума

Что то не сходится: Re=Im, а угол почему-то . Ваще то синус равен косинусу для совсем другого угла, для . Да и скакого перепугу они уравнялись? Кроме того, каждая из компонент Re и Im не могут быть равны модулю только в том случае, ели вторая равна нолю, так что одновременно они не могут быть равны модулю.

Я написал чёрным по белому, в последнем посте
Уточнение в алгоритме (справедливо для всех b >= 0)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(Re({e}^{b*ln(|a|)}), Im({e}^{b*ln(|a|)})) = \pi*(b - floor(b))$

Не по теме:

прежде чем писать прошу читать что написано

Запись от -=ЮрА=- размещена 20.03.2014 в 20:55 -=ЮрА=- вне форума

Будь другом, приведи доказательство, что: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(...) = \pi*(b-floor(b));$

Дробная часть показателя описывает фазу : на промежутке 0...1 содержится весь период для тангенса, т.е Пи радиан
Вобщем проводим аналогию (0...Пи)-> (0...1)

Запись от -=ЮрА=- размещена 20.03.2014 в 21:02 -=ЮрА=- вне форума

Зосима, повторюсь магическое не Пи/ 10 а магическое
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?atan2(Re({e}^{b*ln(|a|)}), Im({e}^{b*ln(|a|)})) = \pi*(b - floor(b)) = \phi$

Отмечал пару постов выше

Для тех кто только включился поясняю мы можем посчитать экспоненту без формулы Эйлера(http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Эйлера), верней выйти на её окнчательный резултат путём более простых преобразований (менее ресурсозатратных для ЭВМ разложений)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|c| = {e}^{b*ln(|a|)}$ записать вот так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\hat{c} = |c|*cos(\phi) + j*|c|*sin(\phi)$
На вопрос зачем это нужно - отвечаю для численных методов - это быстрей прямого алгоритма в лоб на порядок.

Кликните здесь для просмотра всего текста

Повторяю ссылки на всякий пожарный

https://www.cyberforum.ru/cpp-... ost5923921

Запись от -=ЮрА=- размещена 20.03.2014 в 23:03 -=ЮрА=- вне форума

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
50 самых полезных примеров кода Python для частых задач py-thonny 17.06.2025 Эффективность работы разработчика часто измеряется не количеством написаных строк, а скоростью решения задач. Готовые сниппеты значительно ускоряют разработку, помогают избежать типичных ошибок и. . .	C# и продвинутые приемы работы с БД stackOverflow 17.06.2025 Каждый . NET разработчик рано или поздно сталкивается с ситуацией, когда привычные методы работы с базами данных превращаются в источник бессонных ночей. Я сам неоднократно попадал в такие ситуации,. . .	Angular: Вопросы и ответы на собеседовании Reangularity 15.06.2025 Готовишься к техническому интервью по Angular? Я собрал самые распространенные вопросы, с которыми сталкиваются разработчики на собеседованиях в этом году. От базовых концепций до продвинутых. . .	Архитектура Onion в ASP.NET Core MVC stackOverflow 15.06.2025 Что такое эта "луковая" архитектура? Термин предложил Джеффри Палермо (Jeffrey Palermo) в 2008 году, и с тех пор подход только набирал обороты. Суть проста - представьте себе лук с его. . .	Unity 4D GameUnited 13.06.2025 Четырехмерное пространство. . . Звучит как что-то из научной фантастики, правда? Однако для меня, как разработчика со стажем в игровой индустрии, четвертое измерение давно перестало быть абстракцией из. . .
SSE (Server-Sent Events) в ASP.NET Core и .NET 10 UnmanagedCoder 13.06.2025 Кажется, Microsoft снова подкинула нам интересную фичу в новой версии фреймворка. Работая с превью . NET 10, я наткнулся на нативную поддержку Server-Sent Events (SSE) в ASP. NET Core Minimal APIs. Эта. . .	С днём независимости России! Hrethgir 13.06.2025 Решил побеседовать, с утра праздничного дня, с LM о завоеваниях. То что она написала о народе, представителем которого я являюсь сам сначала возмутило меня, но дальше только смешило. Это чисто. . .	Лето вокруг. kumehtar 13.06.2025 Лето вокруг. Наполненное бурями и ураганами событий. На фоне магии Жизни, священной и вечной, неумелой рукой человека рисуется панорама душевного непокоя. Странные серые краски проникают и. . .	Популярные LM модели ориентированы на увеличение затрат ресурсов пользователями сгенерированного кода (грязь -заслуги чистоплюев). Hrethgir 12.06.2025 Вообще обратил внимание, что они генерируют код (впрочем так-же ориентированы разработчики чипов даже), чтобы пользователь их использующий уходил в тот или иной убыток. Это достаточно опытные модели,. . .	Топ10 библиотек C для квантовых вычислений bytestream 12.06.2025 Квантовые вычисления - это та область, где теория встречается с практикой на границе наших знаний о физике. Пока большая часть шума вокруг квантовых компьютеров крутится вокруг языков высокого уровня. . .

Сообщение форума

Отменить изменения