Формула Бернулли и теория Маркова

Всем доброе время суток!
Есть такая задача - лотерея 5 из 36. Просчитать вероятности выпадения шаров очередного тиража, отталкиваясь от результатов N предыдущих тиражей, причем применив формулу Бернулли и цепи Маркова. Само решение не нужно, главное - куда двигаться, не могу понять логику, ну и вообще взаимосвязь цепей Маркова и формулы Бернулли.

0

Привет!
Да, реально странно про Бернулли и Маркова. Самой логичной оценкой выглядит простое среднее арифметическое. То есть число выпадений данного шарика поделить на N.

Нагуглил про цепи Маркова и лотерею статейку - http://topfortuna.com/articles/574.html
Сам пока не читал.

Ещё есть такая ссылка http://igravloto.ru/analiz_lot... _5_36.html
Там есть пункт: Таблица 6. Вероятность выпадения номеров по системе Маркова - Бернулли
И вероятности в этой таблице ровно противоположны частоте выпавших номеров. То есть самые редковыпавшие ("холодные") считаются, что выпадут вероятнее всего.

Видимо, считают по логике, что средняя частота в схеме Бернулли стремится к своему матожиданию. А значит холодные номера должны "догонять" другие номера.

1

Вот и я немного в непонятках...
По поводу статеек - читал обе, более того, конечная цель - придумать формулу, соответствующую как раз таки Таблице 6... по твоей ссылке.... (http://igravloto.ru/analiz_lot... _5_36.html)

Как ход мысли - Если рассматривать событием не тираж а каждый выпавший шар, то в разрезе тиражей на первый выпавший шар будет вероятность 1/36, на второй - 1/35 и т.д. тогда формулу Бернулли можно применить (с вопросом, если за n тиражей шар под номером Х выпал k раз, то какова вероятность того, что шар X выпадет в следующем тираже). И так отдельно по каждому выпавшему шару. Тогда найдем вероятности выпадения шара Х в каждом из 5 выпадений на следующий тираж. Сложив (или умножив?) эти вероятности, получим общую вероятность появления шара в тираже... И так по каждому из 36 шаров...
Но не могу логику построить - Если предположим анализируем 10 тиражей, то есть всего доставали шары 50 раз, из них к примеру шар под номером 1 выпадал 6 раз, по Бернулли нашли вероятность того, что он выпадет первым шаром в очередном тираже. При расчете второго шара - шар под номером 1 уже не должен принимать участие в расчете вероятности. Тогда на следующий шар - сколько испытаний брать в расчет - те же 50, или уже 44 (50-6, когда 1 выпало), как учитывать вероятности уже выпавшего шара... Ну и начальный "вопрос" - каким боком сюда присабачить цепи Маркова??

0

Прочитал эту статью (1-я ссылка). Как я понял, есть 2 способа.
1) Через схему Бернулли. Вот тут смотрим раздел Обобщение (полиномиальная схема)

https://ru.wikipedia.org/wiki/Схема_Бернулли

У нас к=36 событий возможных - 36 шаров может выпасть разных. n=5, ибо 5 шаров выпадает. Вероятность выпадения каждого считается различной. Их сумма равна единице. Матожидание вероятности для каждого шарика оценивается просто - число его выпадений за N тиражей лотереи делить на N (среднее арифметическое). Просто потому, что такова формула матожидания для схемы Бернулли.

Только надо ещё продумать, как учесть безповторность нашей выборки 5 шаров из 36. Схема Бернулли, как понял, повторная.

2) Через цепи Маркова. Тут уже юзаем эту статью.

См. решение на картинках. Решение ориентировочное. Не истина в последней инстанции.

1

Про схему Бернулли:

Можно такую схему описать. Для каждого из 36-ти шаров мы проводим N экспериментов (тиражей). Вероятность успеха - что шар (например 35-тый) выпадет в этом тираже (теоретическая вероятность ровно р=5\36)

Вероятность неуспеха q=1-p=31\36 (теоретическая)

Тут уже применяем классическую формулу для матожидания в схеме бернулли. Это частота выпадения нашего шара (допустим 35-го) делить на N.

Ещё есть такая ссылка http://igravloto.ru/analiz_lot... _5_36.html Там есть пункт: Таблица 6. Вероятность выпадения номеров по системе Маркова - Бернулли И вероятности в этой таблице ровно противоположны частоте выпавших номеров. То есть самые редковыпавшие ("холодные") считаются, что выпадут вероятнее всего. Видимо, считают по логике, что средняя частота в схеме Бернулли стремится к своему матожиданию. А значит холодные номера должны "догонять" другие номера.

Такого не получится. В моём решении горячие шары имеют бОльшую вероятность выпадения. Что логично, ибо все тиражи независимы. Я даже слышал, что в начале каждого тиража шары укладывают в строго определённой (всегда одинаковой) последовательности.

0

Они там по порядку лежат

Сообщение от wowik777 Можно такую схему описать. Для каждого из 36-ти шаров мы проводим N экспериментов (тиражей). Вероятность успеха - что шар (например 35-тый) выпадет в этом тираже (теоретическая вероятность ровно р=5\36)

5/36 - это если выпавший шар кладется обратно, и все повторяется. У нас же вероятность, что 35 выпадет первым - 1/36, затем, если первым не выпал, вероятность, что 35 выпадет вторым шаром - 1/35, но это без учета вероятности что он не выпал первым (которая равна 35/36) потом - 1/34 и т.д.,
... интересно получается...

1 шар - вероятность события - 1/36, вероятность не события - 35/36
2 шар - вероятность события - 1/35, но она может наступить при не событии первого шара, то есть - (1/35)*(35/36) = опять 1/36 (соответственно вероятность не события - 35/36)
3 шар - вероятность события - 1/34, с учетом что в предыдущем "не событие" - (1/34)*(35/36)=17/630
ну и так далее...
Верно? Просто интересно, что в первых двух шарах - вероятность одинаковая выходит

0

Bermamyt,

Сообщение от Bermamyt Есть такая задача - лотерея 5 из 36. Просчитать вероятности выпадения шаров очередного тиража, отталкиваясь от результатов N предыдущих тиражей, причем применив формулу Бернулли и цепи Маркова.

Вероятность выпадения шаров-это что? Для каждого шара найти вероятность его выпадения в этом тираже? Эта вероятность для всех шаров одинакова и не зависит от результатов предыдущего тиража. Вероятность того, что в данном тираже выпадет конкретный шар равна вероятности того, что будет ровно 1 красный шар среди 5, вытащенных без возврата из ящика, где лежат 36 шаров, ровно 1 из которых красный.
Т.е. искомая вероятность равна P(k,n,K,N)=P(1,5,1,36)=(C(1,1)*C(4,36))/C(5,36)=5/32
Для подсчета этой вероятности не нужны цепи Маркова и формулы Бернулли, как и результаты предыдущих тиражей.

1

Да, Bermamyt, уточни вопрос задачи - вероятность выпадения шаров-это что?

Вот мои фотки моего предыдущего решения. Как я понял вложения были запрещены.
https://yadi.sk/d/gvOfSAPMdjhTy

5/36 - это если выпавший шар кладется обратно, и все повторяется.

Не верно, имхо. С повторной выборкой вообще всё сложно, ибо наш шар может выпасть не только один раз, но и 2,3,4,5. Я согласен с TrueTerm, что нужно решать через красные шары. Только вот расчёт у TrueTerm не правилен, имхо.

Т.е. искомая вероятность равна P(k,n,K,N)=P(1,5,1,36)=(C(1,1)*C(4,36))/C(5,36)=5/32

Вместо С(4,36) надо писать С(4,35) тогда ответ будет 5\36. Вообще, ответ 5\36 интуитивно понятен. Мы разделяем все 36 шаров на 2 кучки. В одной 5 шаров, а в другой 31. Вероятность, что красный шар будет в 1-й кучке 5\36, а что во второй 31/36. Сумма их равна 36\36=1

Для подсчета этой вероятности не нужны цепи Маркова и формулы Бернулли, как и результаты предыдущих тиражей.

Если бы так было, то сайт igravloto.ru наверное бы не существовал. Суть в том, что предыдущие тиражи влияют. Почему? Ибо учитываем неодинаковость шаров, несовершенство лототрона. Учитываем влияние фазы луны, колец Сатурна и т.д.

1

[quote="wowik777;7058840"]Вот мои фотки моего предыдущего решения. Как я понял вложения были запрещены.

	Комментарий модератора
	Правила форума Правила, 5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом. Тексты набирать ручками. Один вопрос - одна тема. Для формул есть редактор.

0

Сообщение от wowik777 Т.е. искомая вероятность равна P(k,n,K,N)=P(1,5,1,36)=(C(1,1)*C(4,36))/C(5,36)=5/32 Вместо С(4,36) надо писать С(4,35) тогда ответ будет 5\36. Вообще, ответ 5\36 интуитивно понятен. Мы разделяем все 36 шаров на 2 кучки. В одной 5 шаров, а в другой 31. Вероятность, что красный шар будет в 1-й кучке 5\36, а что во второй 31/36. Сумма их равна 36\36=1

Да, конечно, я ошибся. Надо С(4,35) и верный ответ 5/36.

Сообщение от wowik777 Суть в том, что предыдущие тиражи влияют. Почему? Ибо учитываем неодинаковость шаров, несовершенство лототрона. Учитываем влияние фазы луны, колец Сатурна и т.д.

Т.е. речь идёт не об идеальной математической лотерее с идеальным лототроном? Тогда правильнее говорить о нахождении не вероятностей, а частот по данным N тиражей.
Но если лототрон не идеальный, то нужны какие-то предположения о свойствах шаров. Например, что их не заменяют, что одни шары изначально сделаны так, что выпадают чаще других и это с течением времени не меняется. А если меняется (шары изнашиваются), то как это меняется?
Без этого задача смысла не имеет.

0

Вероятность выпадения шаров - это вот как раз та самая таблица 6 с сайта igravloto
То есть, в итоге, хотел бы получить как раз строку с этого сайта http://igravloto.ru/analiz_lot... _5_36.html (Таблица 6.) Но мне нужно именно все математическое описание - дальше в программный код забить... Поэтому и пытаюсь докопаться до "истины"... Сам же теорию вероятности последний раз в институте еще учил

По формуле Бернулли - проводятся N НЕЗАВИСИМЫХ испытаний, причем учитываются количество ПРЕДЫДУЩИХ испытаний и УДАЧНЫХ ИСХОДОВ этих испытаний, то есть он изначально предположил, что предыдущие испытания ВЛИЯЮТ на исход последнего испытания. И учитывается что в каждом испытании вероятность благоприятного исхода постоянна. А в данном случае:
Если рассматривать что 1 шар красный и 35 шаров белых, проводятся 5 последовательных изъятий... вероятность того что достанем красный была на этот момент 1/36, так? достали первый шар - оказался белый...
Теперь уже в куче осталось 35 шаров, причем только один из них - красный, то есть вероятность того, что достанем красный уже 1/35. Достали - опять белый шар. В куче осталось уже 34 шара включая один красный (вероятность 1/34), и т.д.

Но, согласно вышеуказанному сайту - там применялась именно формула Бернулли... Точнее "СИСТЕМА МАРКОВА - БЕРНУЛЛИ"... В инете ничего о подобной системе не нарыл... Вот и думаю, каким образом она там применялась... И вообще - что это за система такая...

0

Правила, 5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом. Тексты набирать ручками. Один вопрос - одна тема. Для формул есть редактор.

Имхо, отстойные правила. Надо менять!

Сообщение от TrueTerm Но если лототрон не идеальный, то нужны какие-то предположения о свойствах шаров. Например, что их не заменяют, что одни шары изначально сделаны так, что выпадают чаще других и это с течением времени не меняется. А если меняется (шары изнашиваются), то как это меняется? Без этого задача смысла не имеет.

Согласен. Нужны дополнительные предположения о том, что и как именно неидеально. Шары? Лототрон? Внешние условия типа расположения спутников Урана?

Но мне нужно именно все математическое описание - дальше в программный код забить... Поэтому и пытаюсь докопаться до "истины"... Сам же теорию вероятности последний раз в институте еще учил

А я был уверен в начале, что тебе эту задачу задали в институте. А для чего, если не секрет, тебе нужно всё это делать? Программный код и т.д.

По формуле Бернулли - проводятся N НЕЗАВИСИМЫХ испытаний, причем учитываются количество ПРЕДЫДУЩИХ испытаний и УДАЧНЫХ ИСХОДОВ этих испытаний, то есть он изначально предположил, что предыдущие испытания ВЛИЯЮТ на исход последнего испытания. И учитывается что в каждом испытании вероятность благоприятного исхода постоянна.

Тут нестыковка у тебя. Если N испытаний независимы, то значит предыдущие не влияют. Это же определение независимости.

Но, согласно вышеуказанному сайту - там применялась именно формула Бернулли... Точнее "СИСТЕМА МАРКОВА - БЕРНУЛЛИ"... В инете ничего о подобной системе не нарыл... Вот и думаю, каким образом она там применялась... И вообще - что это за система такая...

Можешь обратиться к автору сайта. Мб он самоделку какую-то придумал. Я-то думал, что задачу тебе в инсте задали - а значит это реально грамотный способ через Маркова-Бернулли. А оказывается всё не так.

Я не понимаю, как вероятность выпадения в след. тираже у холодных шаров мб больше, чем у горячих. Бред.

Если рассматривать что 1 шар красный и 35 шаров белых, проводятся 5 последовательных изъятий... вероятность того что достанем красный была на этот момент 1/36, так? достали первый шар - оказался белый... Теперь уже в куче осталось 35 шаров, причем только один из них - красный, то есть вероятность того, что достанем красный уже 1/35. Достали - опять белый шар. В куче осталось уже 34 шара включая один красный (вероятность 1/34), и т.д.

Вот чтоб таким геморром не заниматься и придумали формулу для гипергеометрического распределения (задача про красные шары)

Можешь сделать так: ввести предположение, что вероятности для разных шаров неодинаковы и константы в каждом тираже. То есть если шар номер 3 выпадает с вероятностью 3\36, то он будет в КАЖДОМ тираже выпадать с такой вероятностью.

Ну и дальше по схеме Бернулли так, как я описал в фотографиях - через частоты оцениваешь эти вероятности для каждого шара.

1

Да есть у меня пара знакомых, которые лелеют "научиться" угадывать 2-3-4 шара... А я когда-то в экселе не плохо разбирался... В общем когда посмотрел на их "труды" (один из них за 2 года нарисовал, то ж в экселе, только все ручками, 432 таблицы (36*36), все с уникальным расположением шаров, причем комбинации и логику построения сам придумывал, когда разобрался, оказалось там сдвиг у него на простые числа в пределах от 1 до 36 по вертикали и по горизонтали, и каждую (!!!) таблицу потом ВИЗУАЛЬНО анализировал по своим каким-то там соображениям, "вытаскивая прогноз"... в общем мой интерес - изучаю VBA, и восстанавливаю вообще познания в экселе, а с этой бедой вот столкнулся - уже спортивный интерес пошел... Но ТВ мне как-то сложнее дается чем VBA, поэтому сюда обратился...
Хотя сам прекрасно осознаю - в 5 из 36, как бы то ни было, но практически абсолютная случайность, (к примеру от функции rnd(), где при большом количестве повторений прослеживается закономерность) и комбинаций выигрышных - 376992, то есть шанс угадать 5 шаров - 1/376992.. Ну... в общем не азартный я )

0

Bermamyt, если даже из-за несовершенства шаров и можно повысить вероятность выиграть в лотерею, то ненамного и математическое ожидание всё равно останется отрицательным. Вряд ли лототрон износится настолько, что станет подобен рулетке из рассказа Джека Лондона "Малыш видит сны".
Посоветуйте знакомым переключиться на FOREX. Та же мгновенная лотерея, а систем куча, в том числе и свои можно придумать.
В любом случае, необходимы какие-то гипотезы о свойствах системы, которые можно проверить по результатам предыдущих тиражей. Для начала советую посчитать матожидание и дисперсию. Если они несущественно отличаются от "идеальных", то ДСЧ системы, видимо, близок к идеальному. Поэтому вряд ли тут что-то можно сделать для выигрыша.

1

Форекс самому нравится Но там что б ощутимо выигрывать, надо ощутимые деньги вложить, пока "свободных" средств нет А ребят переубеждать смысла нет... Когда затронули эту тему - понял, что для них это чуть ли не их внутреннее вдохновление В любом случае, обсуждение здесь чуть-чуть в голове все по полкам разложило, супер, спасибо Если у них что получится - отпишусь Хотя из их рассказа, был момент - упустили 30 лямов - заполнили билет, и не успели его сдать... Оказался выигрышным, только вот заполняли не по системе, а случайно...

0

Забавная тема с лотореей Не ожидал, что существуют возможности, системы для плюсовой игры в них. Ребятам тяжело, конечно. Ведь им нужно не просто плюсовую стратегию придумать, но и чтоб организаторскую комиссию переплюнуть.

А ребят переубеждать смысла нет... Когда затронули эту тему - понял, что для них это чуть ли не их внутреннее вдохновление

Тут согласен - раз внутреннее вдохновение, то лучше не отговаривать.

В любом случае, необходимы какие-то гипотезы о свойствах системы, которые можно проверить по результатам предыдущих тиражей.

Тут согласен. Bermamyt, какие вы делаете предположения? В чём именно лоторея не идеальна?

Хотя сам прекрасно осознаю - в 5 из 36, как бы то ни было, но практически абсолютная случайность, (к примеру от функции rnd(), где при большом количестве повторений прослеживается закономерность) и комбинаций выигрышных - 376992, то есть шанс угадать 5 шаров - 1/376992.. Ну... в общем не азартный я )

После проведения таких расчётов - любой станет неазартным А ребята подсчитывали процент комиссии оргнизатора в случае идеальности лотореи? То есть для этого нужно подсчитать вероятности угадывания 2,3,4,5 шаров, умножить их на суммы соответствующих призовых. И затем полученное число вычесть из цены билета. Интересно, какова эта комиссия. Думаю, что 40% или больше.

http://statloto.ru/main536.asp Вот тут 1-я картинка интересная. Можно проверить статистическую значимость колебаний этих частот вокруг матожидания 5\36. Если колебания серьёзные и стат. значимые, то скорей всего лототрон неидеален.

Интересно, они лототрон меняют периодически? По уму, при каждой замене вся зависимость на основе предыдущих тиражей должна исчезать.

0

Сообщение от wowik777 Правила, 5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом. Тексты набирать ручками. Один вопрос - одна тема. Для формул есть редактор. Имхо, отстойные правила. Надо менять!

	Комментарий модератора
	Правила, 1.3. Если пользователь отказывается соблюдать настоящие Правила, то он должен либо самостоятельно покинуть форум, либо его аккаунт будет заблокирован.

0

Просмотрел несколько записей программы - вроде визуально шары закладываются хаотически, то есть каждый раз в случайном порядке... А вот лототрон меняется но не от передачи к передачи а скорее всего только с точки зрения пиара, ну что б для народа типа было более наглядно видно что розыгрыш тиража абсолютно случаен... По поводу комиссии - на каждый тираж определяется призовой фонд, складывающийся из суммы за общее количество купленных билетов, и весь расклад на сайте выкладывается - сколько денег раздали, сколько себе оставили
Если уж углубляться в особенности того же лототрона, то можно дойти до неравномерности потока воздуха, который всасывает шарики - не думаю, что там стабилизатор стоит, который регулирует и держит строго определенную скорость оборотов насоса, плюс износ, загрязнения и т.д. В общем еще один фактор, который влияет на случайность )) Что заметил - просто визуально, шары от 30 до 36 - (особенно 36) выпадают ну как-то очень часто... И еще - при количестве испытаний стремащимся к бесконечности - количество выпадений каждого шара - должно стремиться к выравниваю, то есть частота выпадения у каждого шара должна стремиться к среднему значению... вроде вот такое вот не наблюдается, то есть ну не идеален этот лохотрон

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от wowik777 Ребятам тяжело, конечно. Ведь им нужно не просто плюсовую стратегию придумать, но и чтоб организаторскую комиссию переплюнуть.

Их достижение - "не уходят в минус"... В принципе реальное достижение

0

Провёл тестирование 1-й картинки по этой ссылке - http://statloto.ru/main536.asp
Прикрепляю файл Экселя. Использовал критерий Хи-квадрат, проверяя гипотезу об иделальности лототрона. Результат неутешительный - отклонения в частотах не стат. значимы. То есть с большой вероятностью эти отклонения - просто случайность. То есть даже, если лототрон неидеален, шары несимметричны, то эта несимметричность крайне мала.

И еще - при количестве испытаний стремащимся к бесконечности - количество выпадений каждого шара - должно стремиться к выравниваю, то есть частота выпадения у каждого шара должна стремиться к среднему значению... вроде вот такое вот не наблюдается, то есть ну не идеален этот лохотрон

Вот как раз результаты моего анализа говорят о том, что наблюдается. Можно, конечно, попробовать ставить на горячие шары (36, 27, 10 и т.д. ), но скорей всего, их горячесть - простая случайность.

Могу предположить, что ты ничего не знаешь про "проверку гипотез" в статистике. Если когда-нибудь заинтересуешься, то обращайся - скину тебе простенькую книжку про то, как в Экселе это проводить.

Просмотрел несколько записей программы - вроде визуально шары закладываются хаотически, то есть каждый раз в случайном порядке...

Если так, то это всё - приговор - ещё больше увеличивает случайность выпадения.

http://statloto.ru/doc.asp?id_docs=59 вот здесь доказывается, что гораздо выгоднее ставить на несимметричные комбинации в плане чётности с суммой номеров от 75 до 100. Твои ребята играют так? Разделяют эту точку зрения?

Вложения

ЛОТО расчет критерия хи-квадрат.xlsx (13.6 Кб, 97 просмотров)

1